Каждый класс фракталов по-своему уникален и представляет интерес как для теоретической математики, так и для практических приложений. Каждый тип фракталов находит своё применение в зависимости от поставленных задач и желаемых результатов. В современной науке принято выделять три основных класса фракталов, каждый из которых характеризуется своими методами построения и математическими свойствами.
От ствола дерева отходит множество веток, а от них — ветки по- меньше и так далее. Во-первых, это попытка копировать природный фрактальный объект, используя упрощённую математическую модель. Фракталы — абстрактное математическое понятие, но самое удивительное, что в природе часто встречаются объекты, обладающие его главным свойством — самоподобием. К ним также относятся множество Кантора, треугольник Серпинского, кривая Пеано и многие другие. Снежинки Коха занимает ограниченную площадь, например, её можно ограничить окружностью определённой длины.
фракталов
Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). Так, раковые опухоли и эмфиземы имеют более сложную структуру, а здоровые участки более простую. Коэффициент сжатия при использовании фрактального алгоритма примерно сопоставим с самым популярным методом сжатия JPEG.
Фракталы, которые правят миром: как математика проникает в хаос
Концепция фрактальной размерности позволяет количественно характеризовать хаотические процессы, которые раньше казались непредсказуемыми и не поддающимися математическому описанию. Особенно интересно их использование в теории хаоса, где фрактальные аттракторы помогают визуализировать и понять динамику нелинейных систем. В физике фракталы нашли применение для описания процессов диффузии, турбулентных потоков и фазовых переходов. Атмосферные явления, такие как облака и снежинки, представляют собой еще одну область, где фрактальная геометрия находит своё проявление. Береговые линии, горные хребты, системы рек и их притоков — все эти объекты обладают статистическим самоподобием. Примечательно, что именно стохастические фракталы нашли наиболее широкое применение в компьютерной графике и кинематографе для создания реалистичных текстур и пейзажей.
Самоподобные множества с необычными свойствами в математике
Льюис Фрай Ричардсон — английский математик начала XX века прославился тем, что изучал протяженность береговой линии Англии. Одно из самых ранних применений фракталов появилось задолго до того, как этот термин был введен. Фракталы имеют много различных свойств, но мы расскажем лишь о том, как они появились, что собой представляют, и чем интересны. Это лишь одни из многих способов применения фракталов.
- Принципы построения фракталов используются в физике, в таких разделах, как гидродинамика, физика плазмы, электродинамика и радиоэлектроника.
- Парадокс, но снежинки, что так романтично могут попасть вам на ресницы, — это самые что ни на есть математические объекты.
- Мы уже говорили о снежинке Коха, но и природные снежинки (каждая из которых, как мы знаем, уникальна) имеют структуру самоподобия.
- Настоящий прорыв произошел в 1970-х, когда Мандельброт не только систематизировал существующие знания, но и существенно расширил теорию фракталов.
Внаукефракталыиспользуютсядлямоделированиясложныхсистем.Например,вбиологиифрактальныемоделипомогаютизучатьструктурулёгких,кровеносныхсосудовинервныхсистем.Вгеологиифракталыприменяютсядляописанияформрельефаиструктурыминералов.Дажевэкономикеифинансахфракталыиспользуютсядляанализарыночныхданныхипредсказаниябудущихтенденций. А чуть позже инженеры научились строить антенны на основе фракталов Серпинского, кривых Пеано и того же фрактала Коха. При этом количество повторяющихся частей у фрактала стремится к бесконечности — этим он отличается от самоподобных геометрических фигур с конечным числом звеньев (предфракталов).
фракталы?
Метеорология и климатология стали одними из первых областей, где фрактальные модели продемонстрировали свою эффективность. В области моделирования природных процессов фрактальная геометрия предоставляет мощный инструментарий, который кардинально изменил подход ученых к пониманию и прогнозированию сложных природных явлений. В области визуализации данных фрактальные методы помогают выявлять скрытые закономерности в больших наборах информации, представляя их в интуитивно понятной графической форме. В киноиндустрии фрактальные алгоритмы используются для генерации впечатляющих спецэффектов и фантастических ландшафтов. Пожалуй, наиболее заметной и визуально впечатляющей областью применения фракталов стала компьютерная графика.
Математические
Однако о концепции фракталов было известно задолго до первых работ Мандельброта. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети. Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. C тех пор теория фрактальных антенн продолжает интенсивно развиваться.Преимуществом таких антенн является многодиапазонность и сравнительная широкополосность. Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.
- Проще говоря, если мы увеличим фрагмент фрактала, мы обнаружим структуру, напоминающую исходную фигуру.
- При этом ключевое свойство самоподобия сохраняется, но проявляется в статистическом смысле — части объекта похожи на целое не точно, а с определенной степенью вероятности.
- Алгебраические — строятся на основе алгебраических формул.
- Некоторые исследователи даже используют фрактальную геометрию для понимания роста раковых опухолей и распространения эпидемий.
- Но если мы возьмём меру поменьше, например, 50 км, то измерения будут учитывать больше нервностей и мелких особенностей береговой линии — и соответственно, длина увеличится до 3200 км.
Парадокс береговой линии
Фракталынашлисвоёприменениенетольковприроде,ноивискусствеинауке.Художникииспользуютфрактальныеалгоритмыдлясозданияудивительныхкомпьютерныхизображенийианимаций.Такиепроизведенияискусствачастовыглядяткакяркие,завораживающиеузоры,которыеможнорассматриватьчасами. Для подобного бесконечного множества существует даже определённое название — круговой фрактал. Мы уже говорили о снежинке Коха, но и природные снежинки (каждая из которых, как мы знаем, уникальна) имеют структуру самоподобия. Снежинка — это типичный и, пожалуй, самый наглядный пример фрактала. Кстати, для предсказания погоды используют фракталы. И чем меньше мы будем брать меру, тем больше получится длина береговой линии.
В отличие от строго детерминированных геометрических и алгебраических фракталов, стохастические (или случайные) фракталы вносят элемент непредсказуемости в процесс своего формирования. Однако в этом случае параметр C является константой для каждого конкретного множества Жюлиа, что дает бесконечное семейство различных фракталов — по одному для каждого значения C. В отличие от геометрических фракталов, они строятся не путем преобразования базовых геометрических фигур, а на основе алгебраических формул, особенно тех, что включают итерационные процессы в комплексной плоскости. В отличие от других типов фракталов, геометрические фракталы всегда предсказуемы и детерминированы, что делает их особенно ценными для образовательных целей и иллюстрации основных принципов фрактальной геометрии. Фракталыимеютширокийспектрпримененийвразличныхобластях.Вкомпьютернойграфикеонииспользуютсядлясозданияреалистичныхтекстуриландшафтовввидеоиграхифильмах.Вмедицинефрактальныеалгоритмыпомогаютулучшатькачествоизображенийвметодахвизуализации,такихкакМРТиКТ. Интересно,чтофракталымогутиметьдробнуюразмерность.Вотличиеоттрадиционныхгеометрическихфигур,такихкаклинии(одномерные),плоскости(двумерные)иобъёмы(трёхмерные),фракталымогутиметьразмерности,выраженныедробнымичислами.Этоозначает,чтоихструктурасложнее,чемулинейныхобъектов,нопроще,чемуобъёмных.
В её основе лежит знаменитая теорема Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Ниже показаны четыре итерации построения такой фигуры. На первой итерации у нас был один отрезок, на второй мы получили два, на третьей — четыре и так далее. В 1883 году Георг Кантор — немецкий математик, автор теории множеств — придумал множество, которое повторяло само себя снова и снова. Стохастические — образуются в том случае, если в итерационной системе случайным образом изменяется один или несколько параметров.
Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами.
Снежинка Коха aka кривая Коха
Рассматривать и изучать такие фракталы можно бесконечно. Если бы мы влетели внутрь такого фрактала и попытались приблизиться к любой из сторон, то заблудились бы и никогда из него не выбрались, потому что внутри губки Менгера скрыто бесконечное пространство! Посчитать периметр такой снежинки невозможно, потому что она может разрастаться всё дальше и дальше… Это ещё одно свойство фракталов — бесконечность. На какой бы итерации мы ни увеличили масштаб изображения, мы всегда сможем увидеть знакомый паттерн, как и с множеством Кантора.
Фракталы в природе
Природные объекты (квазифракталы) отличаются от идеальных абстрактных фракталов неполнотой и неточностью повторений структуры. Парадокс береговой линии Из-за фрактальных свойств береговой линии невозможно точно измерить её длину. Именно с них в XIX веке началась теория фракталов, так как в фрактал в трейдинге геометрических фракталах свойства само-подобия наиболее наглядны. Например, фрактальные формы могут описывать контуры береговой линии, построения ветвей деревьев, облака и многие другие природные явления. Получается, что каждый из этих видов фракталов предоставляет уникальные математические инструменты для исследования различных аспектов самоподобия и сложных строений. Эта особенность делает данный тип фракталов особенно ценным для компьютерного моделирования таких природных объектов, как горные ландшафты, облака, береговые линии или даже биологические структуры.
Такие фракталы, как правило, являются наиболее наглядными для понимания основных принципов фрактальной геометрии, поскольку процесс их построения можно легко визуализировать и проследить шаг за шагом. Такое разделение на категории не просто теоретическое упражнение — оно имеет практическое значение, поскольку определяет методы работы с фракталами в различных прикладных областях от компьютерной графики до моделирования физических процессов. Именно сочетание этих свойств делает фракталы уникальным математическим и природным явлением, позволяющим описывать сложные структуры относительно простыми формулами и алгоритмами. Визуализация, иллюстрирующая, как фракталы отличаются от классических геометрических объектов благодаря своей дробной размерности В то время как точка имеет размерность 0, линия — 1, а плоскость — 2, фракталы часто имеют дробную размерность.